Nombres complexes et triangle rectangle

Soit  $\text{A},\text{B},\text{C}$  trois points deux à deux distincts et d'affixes respectives  $z_{\text{A}},z_{\text{B}},z_{\text{C}}$ . Pour prouver que le triangle  $\text{A}\text{B}\text{C}$  est rectangle en  $\text{A}$ , il suffit de prouver que  ${\displaystyle \frac{z_{\text{C}}-z_{\text{A}}}{z_{\text{B}}-z_{\text{A}}}}$  est un imaginaire pur ou encore que  $\arg ({\displaystyle \frac{z_{\text{C}}-z_{\text{A}}}{z_{\text{B}}-z_{\text{A}}}})={\displaystyle \frac{\pi }{2}}[\pi ]$ , c'est-à-dire  ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}[2\pi ]$  ou  ${\displaystyle \frac{-\pi }{2}}[2\pi ]$ .

Exemple

Soit  $\text{A},\text{B},\text{C}$  trois points d'affixes respectives  $-2,1+i,-1-3i$ . On veut démontrer que le triangle  $\text{A}\text{B}\text{C}$  est rectangle en  $\text{B}$ .

${\displaystyle \frac{z_{\text{A}}-z_{\text{B}}}{z_{\text{C}}-z_{\text{B}}}}={\displaystyle \frac{2-(3+i\sqrt{3})}{2i\sqrt{3}-(3+i\sqrt{3})}}={\displaystyle \frac{-1-i\sqrt{3}}{-3+i\sqrt{3}}}$

À ce stade, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du complexe figurant au dénominateur, on obtient alors :  ${\displaystyle \frac{(-1-i\sqrt{3})(-3-i\sqrt{3})}{(-3+i\sqrt{3})(-3-i\sqrt{3})}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}i+i\sqrt{3}}{12}}=i{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .
Ainsi  $\arg ({\displaystyle \frac{z_{\text{A}}-z_{\text{B}}}{z_{\text{C}}-z_{\text{B}}}})={\displaystyle \frac{\pi }{2}}[2\pi ]$ .

Donc, le triangle  $\text{A}\text{B}\text{C}$  est bien rectangle en  $\text{B}$ .